不过最好的方式还是，设计一个全新的大基数公理，比如回到最开始，k中不可达基数构成的集合为k中的驻集，这样在k中就足够计数器数了。何以？因为不可达基数本身的不可达性（跨越度），使得一系列不可达基数的极限总不会是不可达基数，或者说，仅含n个“不可达基数”的宇宙总是存在的。所以，这种k的存在是比不可达基数（对于其下集合而言可以充当全域）更为可疑的了。但既然开启了这一步，那就没什么可以阻止该定义的推广了。比如，这种k的集合亦在某个k中构成驻集，然后前缀1-。所谓k的集合在k中构成驻集的意思是，k的一部分加起来等于k，并且这一部分的一部分加起来得到的数也属于这一部分。k为不可达基数的话就是，不仅k中的k加起来等于k，一部分k加起来也是k。

k的集合在k中构成驻集，本质上就是将k的子集划分为大的与小的两类，而所谓的驻集即是不属于小的那类的子集，可以说你已经简单的懂得了滤的观念，接下来就来进入下一个滤吧！

令μ为一个检测器，把它当做跟战斗力检测器差不多的玩意，只是只能显示1或0，权当大和小来理解就够了。所谓k上的测度就是这么个情况：

μ（k）=1；k作为自身的子集当然是属于大的一类了。对任意x∈k，μ（{x}）=0；作为k的元素，该元素的集合当然也是k的子集，但这种子集连等势都不等上，当然是属于小的一类了。对任意xy，μ（x）≤μ（y）；显而易见，x作为y的子集，y的值不可能会小于x，最多大家一样。

对任意两两不相交的子集族{xi|i∈w}，其并的测度（μ（{xi|i∈w}））等于其分别测度之和；显然，1+1=2，而μ只能显示1和0，所以明摆着是说k中任意两两不相交的子集族都是战0渣。是不是很简单？动脑想下不难发现，阿列夫零上就具有这样的测度，对于具有这种测度的基数我们称之为可测基数。

而不可数的可测基数，则打破了可构造公理的神话，不为来自现象学的辩护支持，亦不被形而上的绝对无穷涵盖，是大基数中的一道里程碑，大大基数的分水岭，现代数理逻辑真正关注的大基数由此开始。可以说，上述的那些极大性之于可测基数都微不足道。但其实光有二值测度的确不够直观，还是需要加下非主超滤配合来看的。这里有张图会比较直观地展现：

那么定义k上的滤子u是一个超滤子，当且仅当对任意sk，要么s∈u，要么s的补集∈u。直观上，属于u的集合是大的集合，自然地，补集为大的集合的集合就是小的集合。可以说超滤子将k的所有子集划分为大的和小的，而称u是主超滤子，当且仅当存在x∈k使得u={sk|x∈s}。此外，称u是k-完全的，当且仅当＜k个大的集合的交集仍然是大的。因此，如果称一不可数基数是可测基数，那么当且仅当存在k上的＜k-完全非主超滤子。

“（完蛋，我就知道扯到后面肯定会有一堆我看不懂的符号，看来我也就小学生水平了么？）”

那么如何理解不可达基数？递归的定义超穷基数：令0=w，a+为on中所有基数大于a的α之交，也就是基数比a大的所有序数中最小的序数。不难看出，对于任意序数均可定义一个超穷基数，而所有超穷基数的类是on的子类，尽管它俩的长度一样长。

也甭管阿列夫一是怎么大于阿列夫零了，反正存在大于阿列夫零的基数然后我们管其中最小的那个叫阿列夫一，第二个叫阿列夫二。现在我们已经知道每个基数都是序数，假设k是一个基数而α是一个序数，如果存在函数fk，使得α在f下的像在k中无界，就称f是α到k的共尾映射，也称α是k的共尾数，特别地，k最小的共尾数记为cf。

所谓的无界即对于任意小于k的β，都存在α在f下的像ξ大于β。所以，f反映的是k是否可以通过长度为α的序列从下面抵达k。显然，cf≤k。如果cf＜k，就称k是奇异基数；如果cf=k，就称k为正则基数。

例如：对于任意自然数n，令f=n，则fw是共尾映射，所以w是一个奇异基数。相反，1是一个正则基数，毕竟可数个可数集的并仍是可数的。事实上，我们可以证明所有后继基数都是正则的，故而，所有奇异基数都是极限基数。反过来，在极限基数中我们只知道w是正则的。那自然的问题就是：“是否存在不可数的正则极限基数？”而“存在不可数的正则极限基数。”这也就是断言不可达基数存在的公理了。